Maxwell e gli asteroidi

In questo blog abbiamo già illustrato i principi della fotometria degli asteroidi allo scopo di determinarne il periodo di rotazione.

Ora vogliamo approfondire un aspetto che era stato discusso marginalmente, ossia: una volta noti i periodi, che forma ci si aspetta debba avere la funzione della distribuzione statistica dei periodi di rotazione? Rispondere a questa domanda è fondamentale perché permette di capire se abbiamo ben compreso il processo di evoluzione della popolazione di asteroidi che si trova nella Fascia Principale, la regione di spazio compresa grossomodo fra le orbite di Marte e Giove. Più in generale, queste considerazioni si applicano ad una qualsiasi popolazione di asteroidi (come i Troiani di Giove), i cui membri abbiano interagito fra di loro sufficientemente a lungo da trovarsi in uno stato stazionario.

Per rispondere alla domanda precedente, per niente banale o scontata, bisogna parlare dell’opera del fisico e matematico scozzese James Clerk Maxwell (1831-1879), il padre della teoria dell’elettromagnetismo classico. Per la verità, qui non c’interessa la teoria elettromagnetica ma il contributo teorico di Maxwell alla fisica dei gas perfetti (Figura 1).

Gas_perfetto
Figura 1 – Nel modello del gas perfetto gli atomi o le molecole del gas vengono assimilate a oggetti puntiformi di massa m in grado di compiere collisioni elastiche fra di loro e con le pareti del recipiente che le contiene. Maggiore è la velocità con cui si muovono le particelle (indicata dalle frecce rosse), maggiore è la pressione e la temperatura del gas (A. Carbognani).

 

Il gas perfetto

Un gas perfetto è un modello di gas ideale, in cui le particelle componenti compiono collisioni elastiche fra loro e le pareti del recipiente che le contiene. Maxwell, nel 1866, dedusse (indipendentemente da Ludwig Boltzmann), la formula di quella che ora è nota come “distribuzione di Maxwell-Boltzmann”. Questa formula fornisce la distribuzione delle velocità che hanno le particelle di massa m che compongono un gas perfetto stazionario che si trova ad una certa temperatura T. L’ipotesi di base per ricavare la distribuzione, è che i vettori delle velocità delle N particelle di cui è composto il gas perfetto siano distribuiti in modo casuale, in modo tale che la velocità media sia zero e non ci sia un moto collettivo del sistema in una certa direzione preferenziale (ipotesi del caos molecolare). In quest’ipotesi, Maxwell ha dimostrato che il numero di particelle ΔNv, con velocità scalare compresa fra v e vv, è dato da (e=2,71…):

Distribuzione di Maxwell Boltzmann

Qui k è la costante di Maxwell-Boltzmann. Se si fa un grafico di questa funzione, ci si rende conto che si tratta di una curva a campana asimmetrica. Va notato che, nell’esponenziale, si trova l’energia cinetica della particella del gas, ½mv2. Applichiamo questo risultato agli asteroidi, ma non alla velocità di traslazione nello spazio (ossia alla velocità orbitale), che non rispetta l’ipotesi di caos molecolare, bensì alla velocità di rotazione angolare dell’asteroide attorno al proprio asse. La velocità angolare è proporzionale alla frequenza di rotazione Ω, vale a dire al numero di rotazioni che l’asteroide compie in 24 ore, Ω=24/P, dove P è il periodo di rotazione in ore. Così come l’energia cinetica di una particella è proporzionale a v2, anche l’energia rotazionale di un asteroide è proporzionale a Ω2 quindi, al posto di v, si può sostituire tranquillamente Ω.

Il modello cinetico per la rotazione degli asteroidi

In modo analogo al modello del gas perfetto, si può costruire un modello cinetico di popolazione asteroidale in cui avvengono scambi di momento angolare per via collisionale, attraverso processi puramente casuali, ossia senza nessun effetto sistematico. In definitiva, la distribuzione della frequenza di rotazione Ω di un asteroide è data da una distribuzione di Maxwell-Boltzmann, a patto che siano rispettate le seguenti condizioni:

  1. I processi responsabili della rotazione degli asteroidi siano completamente casuali.
  2. Il vettore della velocità di rotazione angolare non ha nessun’orientazione preferenziale nello spazio.
Asteroidi_perfetti
Figura 2 – Il modello cinetico per gli asteroidi ideali è analogo a quello del gas perfetto, ma al posto della velocità lineare si considera la velocità angolare dell’asteroide attorno al proprio asse che, in questo disegno, è indicata dalle frecce blu (A. Carbognani).

Con queste ipotesi, il numero d’asteroidi Δ, con frequenza di rotazione fra Ω e Ω+ΔΩ, è dato da una distribuzione del tutto analoga alla precedente:

Distribuzione Maxwelliana degli asteroidi

Qui σ è un parametro che condiziona l’ampiezza della distribuzione. Questa è la distribuzione che ci si aspetta di osservare se sulla rotazione degli asteroidi non agiscono fattori fisici sistematici.

Figura1
Figura 3 – Istogramma a barre delle frequenze di rotazione osservate per i MBA di tipo C e S di Tholen, con diametro compreso fra 60 e 200 km non appartenenti a famiglie o a sistemi binari. L’intervallo coperto da una barra è di 0,6 rotazioni al giorno. La linea continua, sovrapposta all’istogramma, è la distribuzione di Maxwell-Boltzmann teorica. Come si vede l’accordo è piuttosto buono.

Una volta noti parecchi periodi di rotazione degli asteroidi MBA (o di classi particolari come i NEA o i Troiani), se ne può costruire la distribuzione e verificare se è compatibile con quella di Maxwell-Boltzmann o meno (vedi Figura 3). In caso negativo, significa che sulla rotazione degli asteroidi agiscono dei fattori fisici che rompono l’ipotesi di casualità e che sono in grado di condizionare l’evoluzione della popolazione asteroidale.

Un esempio di fattore fisico sistematico, in grado di modificare la rotazione degli asteroidi, è l’effetto Y.O.R.P. (Yarkovsky-O’Keefe-Radzievskii-Paddack). L’effetto YORP è una forza di tipo non-gravitazionale dovuta all’irraggiamento termico della superficie dell’asteroide. La modifica del periodo di rotazione dell’asteroide è tanto più efficace quanto più il corpo ha forma irregolare e asimmetrica, mentre si annulla per un corpo sferico. Normalmente, l’effetto YORP è fisicamente importante solo per asteroidi fino a circa 40 km di diametro con densità medie dell’ordine di 3 g/cm3.

Qualche anno fa P. Pravec e colleghi, nel paper “Spin rate distribution of small asteroids” hanno portato argomenti a favore del fatto che la distribuzione uniforme (quindi non Maxwelliana), degli asteroidi di Fascia Principale/Mars crossing, con diametri compresi fra 3 e 15 km, sia proprio dovuta all’effetto Y.O.R.P. (Figura 4). Ecco quindi come, dall’analisi della distribuzione dei periodi di rotazione, si possa indagare su fattori fisici che agiscono sugli asteroidi ma che non sono immediatamente evidenti.

Spin_rate_small_asteroids
Figura 4 – Istogramma con la distribuzione dello spin dei piccoli asteroidi main-belt/Mars crossing con diametri compresi fra 3 e 15 km. Come si vede la distribuzione è piatta, ben lontana dall’essere Maxwelliana (Icarus, Volume 197, Issue 2, October 2008, Pages 497-504).

Conclusioni

Da quanto detto risulta evidente l’importanza della fotometria asteroidale, un corpo alla volta. La cosa fondamentale è che, una volta determinato il periodo di rotazione dell’asteroide, il risultato non resti nel “cassetto” ma sia pubblicato (ad esempio sul Minor Planet Bulletin), in modo che sia incluso nei database dei periodi asteroidali noti.

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione /  Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione /  Modifica )

w

Connessione a %s...